טבלאות נוסחאות

דף נוסחאות אלגברה ליניארית: דטרמיננטות, הפיכות, דרגה וערכים עצמיים

הנוסחאות שחוזרות בקורס הראשון באלגברה ליניארית, במקום אחד ומוכנות להדפסה.

דטרמיננטות

ביטוי	שווה ל
$det (a c b d)$	$a d - b c$
$det (A B)$	$det A \cdot det B$
$det (A^{T})$	$det A$
$det (A^{- 1})$	$\frac{1}{det A}$
$det (c A), A \in R^{n \times n}$	$c^{n} det A$
דטרמיננטה של מטריצה משולשית	$a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$

פעולות שורה והדטרמיננטה

ביטוי	שווה ל
$R_{i} \leftrightarrow R_{j}$	$det \to - det$
$R_{i} \to c R_{i}$	$det \to c det$
$R_{i} \to R_{i} + c R_{j}$	הדטרמיננטה לא משתנה

מטריצה הפוכה

ביטוי	שווה ל
$(a c b d)^{- 1}$	$\frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$
$(A B)^{- 1}$	$B^{- 1} A^{- 1}$
$(A^{T})^{- 1}$	$(A^{- 1})^{T}$
$A^{- 1}$	$\frac{1}{det A} adj A$
A הפיכה	$det A \neq = 0 ⟺ rank A = n$

דרגה ופתרון מערכות

ביטוי	שווה ל
$rank A + dim ker A$	n, מספר העמודות
למערכת Ax = b יש פתרון	$rank A = rank [A ∣ b]$
הפתרון יחיד	$rank A = rank [A ∣ b] = n$

ערכים עצמיים ולכסון

ביטוי	שווה ל
ערכים עצמיים	$det (A - λ I) = 0$
$λ_{1} + \dots + λ_{n}$	$tr A$
$λ_{1} \dots λ_{n}$	$det A$
$A = P D P^{- 1}$	$D = diag (λ_{i}), P = [v_{1} \dots v_{n}]$
$A^{k}$	$P D^{k} P^{- 1}$

וקטורים, מכפלות והיטל

ביטוי	שווה ל
$u \cdot v$	$\sum u_{i} v_{i} = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ$
$∣ u ∣$	$u \cdot u$
$proj_{v} u$	$\frac{u \cdot v}{v \cdot v} v$
$∣ u \times v ∣$	$∣ u ∣∣ v ∣ sin θ$
$∣ u \cdot v ∣$	$\leq ∣ u ∣∣ v ∣$

הערות

בדיקה מהירה לערכים עצמיים: הסכום שלהם שווה לעקבה והמכפלה שלהם שווה לדטרמיננטה.

לכסון A = PDP⁻¹ אפשרי כשיש n וקטורים עצמיים בלתי תלויים. אז חזקות של A הן רק חזקות של האלכסון.