ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים, הסבר מלא
וקטור עצמי של מטריצה הוא כיוון שהמטריצה רק מותחת, אף פעם לא מסובבת. הערך העצמי הוא פקטור המתיחה. מוצאים אותם מ־det(A − λI) = 0, והם מופיעים במערכות של מד״ר ליניאריות, ברעידות וביציבות.
איך מוצאים אותם
כותבים A − λI ומשווים את הדטרמיננטה שלה לאפס. זה נותן את הפולינום האופייני, והשורשים שלו הם הערכים העצמיים. לכל ערך עצמי פותרים (A − λI)v = 0. למערכת תמיד יש פתרון שאינו אפס, כי הדטרמיננטה אפס. כל כפולה שאינה אפס של הפתרון היא גם וקטור עצמי.
שתי בדיקות שתופסות את רוב הטעויות
סכום הערכים העצמיים שווה לעקבה, סכום האלכסון. המכפלה שלהם שווה לדטרמיננטה. שתי הבדיקות לוקחות שניות ותופסות את רוב טעויות החישוב לפני שהן מתגלגלות לווקטורים העצמיים.
ערכים עצמיים מרוכבים
למטריצה ממשית יכולים להיות ערכים עצמיים מרוכבים, תמיד בזוגות צמודים. גאומטרית, אין כיוון ממשי שלא מסתובב: המטריצה מסובבת כל וקטור. במערכת מד״ר, ערכים עצמיים מרוכבים פירושם תנודה, והחלק הממשי שלהם קובע אם היא גדלה או דועכת.
דוגמה
עבור A = [[2, 1], [1, 2]] העקבה היא 4 והדטרמיננטה 3, ולכן λ² − 4λ + 3 = 0, ומקבלים λ = 3 ו־λ = 1.
עבור λ = 3, A − 3I = [[−1, 1], [1, −1]], ולכן v = (1, 1). עבור λ = 1, v = (1, −1). בדיקות: 3 + 1 = 4, העקבה, ו־3 × 1 = 3, הדטרמיננטה. אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.
מחשבון ערכים עצמיים 2×2
A = [[a, b], [c, d]]
טעויות נפוצות
- לחשב det(A) − λ במקום det(A − λI).
- להתייחס לווקטור העצמי כיחיד. כל כפולה שאינה אפס מתאימה, כך ש־(2, 2) נכון בדיוק כמו (1, 1).
- לקבל את וקטור האפס. הוא מקיים Av = λv לכל λ, ובדיוק בגלל זה הוא לא נחשב.