שברים חלקיים, הסבר מלא

מאת דוד משיח · 01.11.2026

שברים חלקיים מפרקים שבר מסובך אחד לסכום של שברים פשוטים. לכל חלק פשוט יש אינטגרל ידוע והתמרת לפלס הפוכה ידועה, ולכן השיטה מופיעה גם בחדו״א, גם במד״ר וגם בבקרה.

\frac{A s + B}{( s - r _{1} ) ( s - r _{2} )} = \frac{C _{1}}{s - r _{1}} + \frac{C _{2}}{s - r _{2}}

\frac{A s + B}{( s - r ) ^{2}} = \frac{C _{1}}{s - r} + \frac{C _{2}}{( s - r ) ^{2}}

\frac{A s + B}{s ^{2} + p s + q}, p^{2} < 4 q : \frac{C ( s + α ) + D}{( s + α ) ^{2} + β ^{2}}

C_{1} = \frac{A s + B}{s - r _{2}}_{s = r_{1}}

לפני שמתחילים

המעלה של המונה חייבת להיות קטנה מזו של המכנה. אם לא, קודם מחלקים פולינומים ומפרקים רק את השארית. אחר כך מפרקים את המכנה לגורמים ככל האפשר מעל הממשיים.

שלושה סוגי גורמים

גורם ליניארי שונה (s − r) מקבל איבר אחד C/(s − r). גורם חוזר (s − r)² מקבל שני איברים, אחד לכל חזקה. ריבועי בלי שורשים ממשיים נשאר שלם, עם מונה ליניארי Cs + D, ובדרך כלל משלימים אותו לריבוע כדי שיתאים לסינוס וקוסינוס.

מציאת המקדמים

לגורמים ליניאריים שונים, שיטת הכיסוי הכי מהירה: כדי למצוא את המקדם של 1/(s − r₁), מכסים את הגורם הזה ומציבים s = r₁ בכל השאר. לגורמים חוזרים וריבועיים, פותחים סוגריים ומשווים את המקדמים של כל חזקה של s.

דוגמה

(s + 3)/(s² + 3s + 2) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)). כיסוי ב־s = −1: (−1 + 3)/(−1 + 2) = 2. ב־s = −2: (−2 + 3)/(−2 + 1) = −1.

לכן השבר הוא 2/(s + 1) − 1/(s + 2). כאינטגרל לפי x זה נותן 2 ln|x + 1| − ln|x + 2| + C. כהתמרת לפלס הפוכה, 2e^(−t) − e^(−2t). אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.

מחשבון שברים חלקיים

(A·s + B) / (s² + p·s + q)

A B p q

מכנה–

פירוק–

טעויות נפוצות

לדלג על חילוק הפולינומים כשהמעלה של המונה גבוהה מדי.
לכתוב איבר אחד לגורם חוזר במקום איבר לכל חזקה.
לשים קבוע מעל ריבועי אי־פריק. הוא צריך מונה ליניארי, Cs + D.