טור פורייה, הסבר מלא

מאת דוד משיח · 01.11.2026

טור פורייה כותב פונקציה מחזורית כסכום של סינוסים וקוסינוסים. המקדמים אומרים כמה מכל תדר יש בפונקציה. זה הצעד הראשון לאותות, לרעידות ולהולכת חום.

f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x

b_{n} = \frac{4 A}{nπ} (n = 1, 3, 5, \dots)

a_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) cos \frac{nπ x}{L} d x

למה סינוסים וקוסינוסים

לאורך מחזור אחד, האינטגרל של מכפלת שני איברים שונים, למשל cos 2x ו־sin 5x, הוא אפס. זו אורתוגונליות, והיא מה שמאפשר לחשב כל מקדם בנפרד: כופלים את f בסינוס או בקוסינוס אחד, מבצעים אינטגרל, וכל שאר האיברים נעלמים.

קיצורי דרך לזוגית ואי־זוגית

אם f אי־זוגית, כל ה־aₙ מתאפסים ונשארים רק סינוסים. אם f זוגית, כל ה־bₙ מתאפסים ונשארים רק קוסינוסים. בדיקת סימטריה בהתחלה חוסכת חצי מהאינטגרלים, ותופסת טעויות כשמקדם שאמור להתאפס לא מתאפס.

קפיצות ותופעת גיבס

בנקודת קפיצה, הטור מתכנס לאמצע בין שני הצדדים. ליד הקפיצה, כל סכום חלקי חורג בבערך 9 אחוז מגובה הקפיצה. הוספת איברים מצרה את החריגה, אבל לא מקטינה אותה. זו תופעת גיבס, ורואים אותה במחשבון למטה עם x קרוב ל־0.

דוגמה

גל ריבועי בגובה 1 הוא אי־זוגי, ולכן מופיעים רק סינוסים, ורק האי־זוגיים: b₁ = 4/π, בערך 1.273, b₃ = 4/(3π), בערך 0.424, ו־b₅ בערך 0.255.

ב־x = π/2 הסכומים החלקיים שואפים ל־1, הערך של הגל שם. ב־x = 0, נקודת הקפיצה, כל סכום חלקי נותן 0, האמצע בין מינוס 1 ל־1.

מחשבון סכום חלקי

S_N(x) לגל סטנדרטי על (−π, π)

גל גובה A (ריבועי) מספר איברים N x

S_N(x)–

המקדמים הראשונים–

טעויות נפוצות

לשכוח את החצי ליד a₀, או להשתמש בהגדרה של a₀ שכבר כוללת אותו פעמיים.
לבצע אינטגרל על (−π, π) כשהמחזור הוא 2L. אז האיברים הם cos(nπx/L) ו־sin(nπx/L).
לבזבז אינטגרל על מקדם שהסימטריה כבר אומרת שהוא אפס.