טבלת התמרות פורייה: זוגות התמרה ותכונות

זוגות ההתמרה והתכונות שחוזרים באותות ומערכות, במד״ר ובפיזיקה. בצד ימין הפונקציה בזמן, בצד שמאל ההתמרה שלה.

הגדרה


$F (ω)$	$\int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- iω t} d t$
$f (t)$	$\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{iω t} d ω$

זוגות התמרה

f(t)	F(ω)
$δ (t)$	$1$
$1$	$2 π δ (ω)$
$e^{- a t} u (t), a > 0$	$\frac{1}{a + iω}$
$e^{- a ∣ t ∣}, a > 0$	$\frac{2 a}{a ^{2} + ω ^{2}}$
$e^{- a t^{2}}, a > 0$	$\frac{π}{a} e^{- ω^{2} / (4 a)}$
$rect (\frac{t}{τ})$	$τ \frac{sin ( ω τ /2 )}{ω τ /2}$
$u (t)$	$π δ (ω) + \frac{1}{iω}$
$e^{i ω_{0} t}$	$2 π δ (ω - ω_{0})$
$cos ω_{0} t$	$π [δ (ω - ω_{0}) + δ (ω + ω_{0})]$
$sin ω_{0} t$	$- iπ [δ (ω - ω_{0}) - δ (ω + ω_{0})]$

תכונות

f(t)	F(ω)
$a f (t) + b g (t)$	$a F (ω) + b G (ω)$
$f (t - t_{0})$	$e^{- iω t_{0}} F (ω)$
$e^{i ω_{0} t} f (t)$	$F (ω - ω_{0})$
$f (a t), a \neq = 0$	$\frac{1}{∣ a ∣} F (\frac{ω}{a})$
$f^{'} (t)$	$iω F (ω)$
$t f (t)$	$i \frac{d F}{d ω}$
$(f * g) (t)$	$F (ω) G (ω)$
$f (t) g (t)$	$\frac{1}{2 π} (F * G) (ω)$
$F (t)$	$2 π f (- ω)$
$\int_{- \infty}^{\infty} ∣ f (t) ∣^{2} d t$	$\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ F (ω) ∣^{2} d ω$

הערות

הטבלה משתמשת בהגדרה F(ω) = ∫ f(t)·e^(−iωt) dt. יש קורסים שעובדים עם תדר f בהרץ (e^(−i2πft), בלי 1/2π בהתמרה ההפוכה) או עם 1/√(2π) בשני הכיוונים. אז מקדמי 2π בטבלה משתנים, לכן כדאי לבדוק איזו הגדרה הקורס שלכם משתמש בה.

u(t) היא פונקציית המדרגה, δ היא פונקציית דלתא של דיראק, ו־rect(t/τ) היא פולס מלבני בגובה 1 וברוחב τ.